数理统计
Chap 6 统计量与抽样分布¶
样本与统计量¶
\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，如果\(g(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)是其函数，且不含其他未知参数，则称\(g\)为统计量.
重要统计量列举：
- 样本均值：\(\bar{X} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i\)
- 样本方差：\(S^2 = \textcolor{red}{\dfrac{1}{n-1}}\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\)
- 样本标准差：\(S = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}\)
- 样本\(k\)阶原点矩：\(A_k = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^k\)
- 样本\(k\)阶中心矩：\(B_k = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^k\)
\(\chi^2,t,F\)分布¶
Gamma函数性质列举¶
\[\Gamma(x) = \int^{\infty}_0 t^{x-1}e^{-t}\mathrm{d}t\]
性质：
- \(\Gamma(\dfrac12) = \sqrt{\pi}\)
- \(\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)\)
不过这个在概统做题中使用很少.
\(\chi^2,t,F\)分布定义¶
实际应用中的选择：
| 情况 | 使用的分布 |
|---|---|
| 已知 \(\sigma\)，推断 \(\mu\) | 正态分布 |
| 未知 \(\sigma\)，推断 \(\mu\) | \(t\)分布 |
| 推断 \(\sigma^2\) | \(\chi^2\)分布 |
| 比较两个\(\sigma^2\) | \(F\)分布 |